Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \sinh (x)}{\cos (x) - \cosh (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \cosh (x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} \sinh (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $\sinh (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (0) - lim_{x \to 0} \cosh (x)}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $\cosh (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Étape 7.1.2

Soustrayez $\sinh (0)$ de $0$ .

$\frac{- \sinh (0)}{\cos (0) - \cosh (0)}$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- \sinh (0)}{1 - \cosh (0)}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sinh (0)}{1 - \cosh (0)}$