Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x^{3} (x^{5} + \frac{4}{x^{4}}) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\int 3 (x^{5} x^{3}) + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{5 + 3} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Étape 1.2.3

Additionnez $5$ et $3$ .

$\int 3 x^{8} + 3 x^{3} \frac{4}{x^{4}} d x$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{4}} d x$

Étape 1.3.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\int 3 x^{8} + x^{3} \cdot 3 \frac{4}{x^{3} x} d x$

Étape 1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\int 3 x^{8} + 3 \frac{4}{x} d x$

Étape 1.4

Associez $3$ et $\frac{4}{x}$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{3 \cdot 4}{x} d x$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\int 3 x^{8} + \frac{12}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x^{8} d x + \int \frac{12}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int \frac{12}{x} d x$

Étape 5

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 12 (\ln (| x |) + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Simplifiez

$3 (\frac{1}{9}) x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Étape 7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Étape 7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$

Étape 7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} x^{9} + 12 \ln (| x |) + C$