Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $- 2$ et sur $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Étape 6.2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 6.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Étape 6.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 6.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$- 1.5$

Forme de nombre mixte :

$- 1 \frac{1}{2}$

Étape 8