Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - x^{- 4} (2 x)$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x^{- 4} x$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 2 x^{1 - 4}$

Étape 2.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 2 x^{- 3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $\frac{2}{x^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$