Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 4 x$ . Alors $d u = (2 x - 4) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 x - 4$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Étape 1.5.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 3$ et sur $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Soustrayez $\ln (| - 3 |)$ de $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$

Étape 6