Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Alors $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , donc $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \csc (t)$ et $g (t) = 2 π t$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2 π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 π t$ par rapport à $t$ est $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Étape 1.1.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Étape 1.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Étape 1.3.2

Associez $π$ et $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Étape 1.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Étape 1.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Étape 1.5.2

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ sur $1$ et sur $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{2 π}$ et $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Étape 4.2.4

Pour écrire $\frac{1}{π}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 π$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Étape 4.2.5.2

Réorganisez les facteurs de $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Étape 4.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Étape 4.2.7

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2 π}$

Forme décimale :

$0.15915494 \dots$