Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{4 + \cos^{2} (x)}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + u^{2}}} d u$

Étape 4

Laissez $u = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.5

Réorganisez les termes.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2 \sec (t)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 \sec (t)$ à partir de $2 \sec^{2} (t)$ .

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \int \sec (t) d t$

Étape 6

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{u}{2})$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{u}{2})) + \tan (\arctan (\frac{u}{2})) |) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) + \tan (\arctan (\frac{\cos (x)}{2})) |) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} \cos (x))) |) + C$