Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 1

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- d u = \sin (t) d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 6

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et sur $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 7

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

Étape 8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$