Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Étape 2

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 2.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$u_{lower} = π$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Étape 7

Associez $\frac{1}{π}$ et $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Étape 8

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $π t$ et sur $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite.

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Étape 9.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.2

Comme la fonction ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 9.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.2.2

Réécrivez ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.2.3

Lorsque $t$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.3

Évaluez la limite.

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Étape 9.3.1

Évaluez la limite de $2 π^{\frac{1}{2}}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Étape 9.3.2

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Étape 9.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.3.1

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{π}$

Étape 9.3.3.2

L’infini divisé par toute valeur finie et non nulle est l’infini.

$\infty$