Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réorganisez les termes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Étape 1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 3.2

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Étape 3.2.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Étape 3.2.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Étape 3.3

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Étape 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ est d’environ $3.7320508$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Étape 3.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Étape 3.3.3

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Forme décimale :

$1.31695789 \dots$