Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{9} (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{8} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{8} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (4)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\cos (x)}^{2 (4)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{4} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = \sin (x)$ . Alors $d u_{1} = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} {(1 - {u_{1}}^{2})}^{4} {u_{1}}^{5} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $2 u_{1}$ de $0$ .

$- 2 u_{1}$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4}$ comme ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- u_{2} + 1}$ comme ${(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {({(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 6.3

Associez ${u_{2}}^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{{u_{2}}^{4}}{2}) d u_{2}$

Étape 6.4

Associez ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ et $\frac{{u_{2}}^{4}}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 9

Développez ${(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{4}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ comme $(- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1)$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2} + 1) + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{4} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.7

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.8

Déplacez $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.9

Déplacez $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.11

Multipliez $u_{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.12

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.13

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2 + 4} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.17

Additionnez $2$ et $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.19

Factorisez le signe négatif.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.20

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{1 + 4} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.22

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.23

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.24

Factorisez le signe négatif.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.25

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{4}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{1 + 4} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.27

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.28

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + 1 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.29

Multipliez ${u_{2}}^{4}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{5} - {u_{2}}^{5} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 9.30

Soustrayez ${u_{2}}^{5}$ de $- {u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{5} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{2} (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{6}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{5}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{6}$ et ${u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 14.2

Associez $\frac{1}{7}$ et ${u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}$ et $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Étape 16.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${u_{2}}^{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Étape 17

Remplacez et simplifiez.

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Étape 17.1

Évaluez $\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{7}}{7} + \frac{0^{5}}{5}) - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 (\frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0}))$

Étape 17.2

Évaluez $\frac{{u_{2}}^{6}}{6}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{7}}{7} + \frac{0^{5}}{5}) - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3

Simplifiez

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Étape 17.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{7} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $7$ .

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Étape 17.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{7 (0)}{7} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{1} + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0^{5}}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 17.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 (0)}{5} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{1} - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + 0 - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1^{7}}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} + \frac{1^{5}}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} + \frac{1}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.8

Pour écrire $\frac{1}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.9

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.3.10.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{7 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.10.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.10.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{7}{5 \cdot 7}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.10.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{5}{35} + \frac{7}{35}) - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{5 + 7}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.12

Additionnez $5$ et $7$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{12}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.13

Soustrayez $\frac{12}{35}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 ((\frac{0^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{0}{6} - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 17.3.15.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 (0)}{6} - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.15.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (0 - \frac{1^{6}}{6}))$

Étape 17.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (0 - \frac{1}{6}))$

Étape 17.3.17

Soustrayez $\frac{1}{6}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} - 2 (- \frac{1}{6}))$

Étape 17.3.18

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + 2 (\frac{1}{6}))$

Étape 17.3.19

Associez $2$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2}{6})$

Étape 17.3.20

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 17.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 (1)}{6})$

Étape 17.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3})$

Étape 17.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3})$

Étape 17.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} + \frac{1}{3})$

Étape 17.3.21

Pour écrire $- \frac{12}{35}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 17.3.22

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{35}{35}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12}{35} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Étape 17.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $105$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.3.23.1

Multipliez $\frac{12}{35}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{35 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Étape 17.3.23.2

Multipliez $35$ par $3$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{1}{3} \cdot \frac{35}{35})$

Étape 17.3.23.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{35}{35}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{35}{3 \cdot 35})$

Étape 17.3.23.4

Multipliez $3$ par $35$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{12 \cdot 3}{105} + \frac{35}{105})$

Étape 17.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 12 \cdot 3 + 35}{105}$

Étape 17.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.3.25.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 36 + 35}{105}$

Étape 17.3.25.2

Additionnez $- 36$ et $35$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{105}$

Étape 17.3.26

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{105})$

Étape 17.3.27

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{105}$

Étape 17.3.28

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{105}$

Étape 17.3.29

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{105}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 105}$

Étape 17.3.30

Multipliez $2$ par $105$ .

$\frac{1}{210}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{210}$

Forme décimale :

$0.0\overline{047619}$