Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 3 x - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 3$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 3$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 3 x - 36 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 36 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 12) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 12) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 12)$ .

$3 (x^{2} - x - 12) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (4) - 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 - 3$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $24$ .

$21$

Étape 10

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 64 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 64 - \frac{3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (8)) - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (4) = 64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (4) = 64 - 3 \cdot 8 - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f (4) = 64 - 24 - 36 \cdot 4$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f (4) = 64 - 24 - 144$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $24$ de $64$ .

$f (4) = 40 - 144$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $144$ de $40$ .

$f (4) = - 104$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 104$ .

$y = - 104$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 3) - 3$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$- 18 - 3$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ de $- 18$ .

$- 21$

Étape 14

$x = - 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = - 27 - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 9$ .

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Étape 15.2.1.3.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f (- 3) = - 27 - 9 (\frac{3}{2}) - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- 3) = - 27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f (- 3) = - 27 + \frac{- 27}{2} - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - 27 - \frac{27}{2} - 36 \cdot - 3$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 27 - \frac{27}{2} + 108$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $- 27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{1} - \frac{27}{2} + 108$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $108$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{108}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 54 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $108$ par $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 54 - 27 + 216}{2}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $27$ de $- 54$ .

$f (- 3) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 81$ et $216$ .

$f (- 3) = \frac{135}{2}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{135}{2}$ .

$y = \frac{135}{2}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ .

$(4, - 104)$ est un minimum local

$(- 3, \frac{135}{2})$ est un maximum local

Étape 17