Calcul infinitésimal Exemples

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \frac{x^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Étape 2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Étape 2.6

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.3

Associez $\frac{- 3}{3}$ et ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.7.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7.4.2.4

Divisez $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ par $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Étape 2.9.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ .

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$