Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $\frac{1}{3}$ de ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $y$ .

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $y^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 6

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $y$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $y$ approche de $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $2$ pour $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $2$ pour $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $y$ en insérant $2$ pour $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun à $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ et $2 + 4$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 2^{3}$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.4.4

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.1.4.5

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.2.4

Additionnez $16$ et $8$ .

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.4

Divisez $24$ par $3$ .

$8^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 10.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 10.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.7.1

Annulez le facteur commun.

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 10.7.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1}$

Étape 10.8

Évaluez l’exposant.

$2$