Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.6

Associez $\cos (\frac{x}{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7

Associez $3$ et $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ et $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Associez les fractions.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 5.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.6.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.6.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.6.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Étape 5.6.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Étape 5.6.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Étape 5.7

La solution de l’équation est $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 8

$x = π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Étape 9.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$f (π) = 7$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3 π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3}{4}$

Étape 11.3

Multipliez $- - \frac{3}{4}$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Étape 11.3.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 12

$x = 3 π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3 π$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 3 π$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Étape 13.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 13.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$f (3 π) = 1$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ est un maximum local

$(3 π, 1)$ est un minimum local

Étape 15