Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 6

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- \frac{1}{x + 1} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x + 1} + C$