Calcul infinitésimal Exemples

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Étape 1

Laissez $u = 4 - y^{3}$ . Alors $d u = - 3 y^{2} d y$ , donc $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 - y^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $3 y^{2}$ de $0$ .

$- 3 y^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 2.2

Associez $u^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $15$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$