Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7}{x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.4.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 10

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 13

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{4 + 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.1.4

Additionnez $4 + 0 + 0$ et $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.1.5

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\frac{4 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.1.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Étape 14.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 - 0}$

Étape 14.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 + 0}$

Étape 14.2.4

Additionnez $0 + 0 - 2$ et $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2}$

Étape 14.2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{4}{0 - 2}$

Étape 14.2.6

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{4}{- 2}$

Étape 14.3

Divisez $4$ par $- 2$ .

$- 2$