Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Étape 1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}} + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Étape 4

Réécrivez $x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})$ comme $\frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.6

Placez le terme $3 a^{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.7.2.1

Divisez $5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.7.2.2.1

Multipliez $3 a^{2} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.7.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 a^{2} + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $a^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.3

Additionnez $5$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.7.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.7.2.6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.13

Multipliez $2$ par $5$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.14

Comme $3 (a^{2} + 1)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (a^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \cdot 10 x - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.16.1

Déplacez $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.16.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{3} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.17

Déplacez $10$ à gauche de $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 \cdot x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.19

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20

Multipliez $\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ par $\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.21

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.21.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.21.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.21.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} + (- 2 \cdot 5 x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.5

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.6.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.6.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1 + 2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.4

Multipliez $- 2 (3 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.6.1.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.2

Soustrayez $10 x^{3}$ de $10 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.6.3

Soustrayez $6 a^{2} x$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.7

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2 + 2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.7.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.9

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 a^{2} x - 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.9.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 a^{2} x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.9.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} + 6 x (- 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.9.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (- a^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.10

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.10.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.10.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.10.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 a^{2} x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.10.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.10.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} (3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.11

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.11.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x (- a^{2} - 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.22.11.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- a^{2} - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.13

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1 (1))}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 \cdot - 1 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.22.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.23

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 5.3.24

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- x^{- 2}}}$

Étape 5.3.25

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 5.5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x^{2}}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $6 (a^{2} + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Étape 5.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 x (a^{2} + 1)}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Étape 6

Placez le terme $6 (a^{2} + 1)$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Étape 7

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.1.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 10

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 10.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 12

Placez le terme $3 a^{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 13

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Étape 14

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{(6 a^{2} + 6 \cdot 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Étape 14.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Étape 14.1.3.2

Multipliez $3 a^{2} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.3.2.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0 a^{2}}}$

Étape 14.1.3.2.2

Multipliez $0$ par $a^{2}$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0}}$

Étape 14.1.3.3

Additionnez $5 + 0$ et $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0}}$

Étape 14.1.3.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5}}$

Étape 14.1.4

Divisez $0$ par $5$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \cdot 0}$

Étape 14.1.5

Multipliez $6 a^{2} + 6$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 14.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$