Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} (3 x - 4)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} (3 x - 4)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x - 4)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x - 4)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 4$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4] + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} (3 + 0) + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 (x^{2} \cdot 3 + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 (3 \cdot x^{2} + (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (3 x^{2} + (3 x - 4) (2 x))$

Étape 3.8

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 4$ .

$2 (3 x^{2} + 2 \cdot (3 x - 4) x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2} + (2 (3 x) + 2 \cdot - 4) x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2} + 2 (3 x) x + 2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2}) + 2 (2 (3 x) x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + 2 (2 (3 x) x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + 2 (6 x \cdot x) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{2} + 2 (6 (x^{1} x)) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{2} + 2 (6 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2} + 2 (6 x^{1 + 1}) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x^{2} + 2 (6 x^{2}) + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.7

Multipliez $6$ par $2$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (2 \cdot - 4 x)$

Étape 4.4.8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (- 8 x)$

Étape 4.4.9

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} - 16 x$

Étape 4.4.10

Additionnez $6 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} - 16 x$