Calcul infinitésimal Exemples

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 2 x y y' - y^{2}$ et $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 9 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $9 y^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y y'$ à partir de $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y y'$ à partir de $9 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ .

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ par $y (- 2 x + 9 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ par $y (- 2 x + 9 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2 x + 9 y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (- 2 x + 9 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 2 x + 9 y) y$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.5

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.9

Réécrivez $- (6 x^{2} - y^{2})$ comme $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Étape 5.4.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Étape 5.4.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $9 y$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Étape 5.4.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (- 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Étape 5.4.3.13

Réécrivez $- (2 x - 9 y)$ comme $- 1 (2 x - 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Étape 5.4.3.14

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Étape 5.4.3.15

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$