Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Alors $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 3$ et $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Étape 1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Étape 5.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Forme décimale :

$5.78908503 \dots$

Étape 8