Calcul infinitésimal Exemples

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Étape 1

Écrivez $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Étape 5

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 5.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Étape 6.3

Déplacez $3$ à gauche de $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 8

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 9

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$6 (- \cot (u)) + C$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$