Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} e^{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Étape 5.2

Associez $\frac{u}{2}$ et $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Étape 11.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 11.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$