Calcul infinitésimal Exemples

$2 - 4 y^{2} + 3 x^{3} = 3 y - 5 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y - 5 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 4 y^{2} + 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 - 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 8 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 8 y y' + 3 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$0 - 8 y y' + 9 x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Soustrayez $8 y y'$ de $0$ .

$- 8 y y' + 9 x^{2}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} - 8 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y - 5 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 y' - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 y' - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y' - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y' - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y' - 5 (3 y^{2} y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$3 y' - 15 y^{2} y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 15 y^{2} y' + 3 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$9 x^{2} - 8 y y' = - 15 y^{2} y' + 3 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' = 9 x^{2} - 8 y y'$

Étape 5.2

Ajoutez $8 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 15 y^{2} y' + 3 y' + 8 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 15 y^{2} y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + 3 y' + 8 y y' = 9 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + 8 y y' = 9 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $8 y y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3 + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 15 y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y) = 9 x^{2}$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 15 y^{2} + 3) + y' (8 y)$ .

$y' (- 15 y^{2} + 3 + 8 y) = 9 x^{2}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ par $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3) = 9 x^{2}$ par $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 15 y^{2} + 8 y + 3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 8 y + 3)}{- 15 y^{2} + 8 y + 3} = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 15 y^{2} + 8 y + 3}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) + 8 y + 3}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $8 y$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2}) - (- 8 y) + 3}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 y^{2}) - (- 8 y)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) + 3}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 y^{2} - 8 y) - 1 (- 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Étape 5.5.3.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.6.1

Réécrivez $- (15 y^{2} - 8 y - 3)$ comme $- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)$ .

$y' = \frac{9 x^{2}}{- 1 (15 y^{2} - 8 y - 3)}$

Étape 5.5.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{15 y^{2} - 8 y - 3}$