Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ comme $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $3 \cos^{3} (x)$ comme $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Étape 1.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 \cos (x)}$ comme ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Étape 7.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 7.3

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 13

Associez $\frac{3}{2}$ et ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 14

Associez $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1

Déplacez $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15.2

Multipliez $3^{\frac{1}{2}}$ par $3$ .

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Étape 15.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 15.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 16

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Étape 17

Associez $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$