Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 2)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 14 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 14 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$12 x^{2} - 14 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 3 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 14 x + 3$ et $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 12 x^{2} - 14 x + 3$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 14 x + 3$