Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{x + 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6.5

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$