Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $x$ égale à $1$ .

$\sum_{0}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 + \sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$

Étape 2

Évaluez $\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 x + 9 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 2 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 9$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $5$ par $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Étape 2.2.3.2.4

Additionnez $20$ et $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.3.1

Multipliez $55$ par $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Étape 2.2.3.3.2

Divisez $1155$ par $3$ .

$385$

Étape 2.3

Évaluez $2 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 110$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $110$ .

$- 110$

Étape 2.4

Évaluez $\sum_{x = 1}^{10} 9$ .

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Étape 2.4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9) (10)$

Étape 2.4.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$90$

Étape 2.5

Additionnez les résultats des additions.

$385 - 110 + 90$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Soustrayez $110$ de $385$ .

$275 + 90$

Étape 2.6.2

Additionnez $275$ et $90$ .

$365$

Étape 3

Évaluez $\sum_{x = 0}^{0} x^{2} - 2 x + 9$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $x$ .

$0^{2} - 2 \cdot 0 + 9$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 9$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 + 9$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 9$

Étape 3.2.4

Additionnez $0$ et $9$ .

$9$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$365 + 9$

Étape 5

Additionnez $365$ et $9$ .

$374$