Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x (x^{2} + 6)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Étape 3.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.9.1

Multipliez $x^{2} + 6$ par $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Étape 3.9.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Étape 3.10.2

Associez des termes.

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Étape 3.10.2.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Étape 3.10.2.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$