Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + x^{4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5} + x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{5}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3)$ .

$4 x^{2} (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 216$ .

$f'' (- 6) = - 864 + 12 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = - 864 + 12 \cdot 36$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$f'' (- 6) = - 864 + 432$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 864$ et $432$ .

$f'' (- 6) = - 432$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 432$ .

$- 432$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 32 + 12 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - 32 + 12 \cdot 4$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 32 + 48$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 32$ et $48$ .

$f'' (- 2) = 16$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 4 {(2)}^{3} + 12 {(2)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = 4 \cdot 8 + 12 {(2)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f'' (2) = 32 + 12 {(2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 32 + 12 \cdot 4$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (2) = 32 + 48$

Étape 6.2.2

Additionnez $32$ et $48$ .

$f'' (2) = 80$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8