Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $- 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Étape 1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Étape 2.1.2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Étape 2.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 3 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$