Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $\frac{4}{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.3.2.4

Divisez ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.6

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.7

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Étape 2.2.8

Simplifiez

$r = \frac{1}{3}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Étape 4.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $- \frac{4}{3}$ par $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression.

$- 2$