Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 11.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 11.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 13.3

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.5

Associez $3$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.7

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 13.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.7.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.11

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.12

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.14.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.14.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.15

Associez $- 4$ et $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.16

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.17

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 13.4.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.17.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.18

Soustrayez $6$ de $7$ .

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 13.4.19

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 13.4.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 13.4.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 13.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 13.4.23

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

Étape 13.4.24

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{- 2}{2}$

Étape 13.4.25

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.4.25.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 13.4.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.25.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 13.4.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 13.4.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 1}{1}$

Étape 13.4.25.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - 1$

Étape 13.4.26

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 14