Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{5}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Divisez $x^{5}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{5} + 0 + x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Étape 4.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 0 - x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Étape 4.11

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Étape 4.12

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x^{3} - x + \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 9

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 9.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 10.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$