Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

Étape 4.5.2

Additionnez $1 + x^{- 2}$ et $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Étape 5.4

Réorganisez les facteurs de $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

Étape 5.5

Développez $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Étape 5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Étape 5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- \frac{2}{x}$ par $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Étape 5.6.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Étape 5.6.1.7

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.7.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Étape 5.6.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.7.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.7.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Étape 5.6.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Étape 5.6.1.7.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 5.6.2

Additionnez $- \frac{2}{x}$ et $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 5.6.3

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$