Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Étape 4

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\tan (x) \sec (x)$ , l’intégrale de $\tan (x) \sec (x)$ est $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\sec (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 7.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 7.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.3

Multipliez $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.3.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.4.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.4.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.3.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Étape 7.4.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$2.07519655 \dots$