Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Alors $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , donc $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 3.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.1.4.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 3.1.4.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ comme $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Étape 6.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$