Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1 + \ln (x)}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Étape 4

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 7

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 9

Simplifiez

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$