Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} (x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 2}^{1} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1}$ et $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ et $6 x]_{- 2}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1 + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.5

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.6

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.7.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.7.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{4}{20} + \frac{5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.9

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{9}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{9}{20} + 6 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.11

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} + 6 \cdot \frac{20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.12

Associez $6$ et $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} + \frac{6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.14.1

Multipliez $6$ par $20$ .

$\frac{9 + 120}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.14.2

Additionnez $9$ et $120$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.15

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} \cdot - 32 + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.16

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 32$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.18

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} \cdot 16 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.19

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{16}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.20

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.20.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.20.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4}{1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.20.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.21

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.22

Associez $4$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.24.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 20}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.24.2

Additionnez $- 32$ et $20$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.26

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.27

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12 \cdot \frac{5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.28

Associez $- 12$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 12 \cdot 5}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.30.1

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 60}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.30.2

Soustrayez $60$ de $- 12$ .

$\frac{129}{20} - \frac{- 72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{129}{20} - - \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.32

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{129}{20} + 1 (\frac{72}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.33

Multipliez $\frac{72}{5}$ par $1$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.34

Pour écrire $\frac{72}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} \cdot \frac{4}{4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.35

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.35.1

Multipliez $\frac{72}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{5 \cdot 4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.35.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.36

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{129 + 72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.37

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.37.1

Multipliez $72$ par $4$ .

$\frac{129 + 288}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.37.2

Additionnez $129$ et $288$ .

$\frac{417}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.38

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.39

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3})$

Étape 9.2.3.40

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3})$

Étape 9.2.3.41

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Étape 9.2.3.42

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

Étape 9.2.3.43

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{417}{20} - 4 \frac{1 + 8}{3}$

Étape 9.2.3.44

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{9}{3})$

Étape 9.2.3.45

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.45.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 9.2.3.45.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.45.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Étape 9.2.3.45.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.45.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{3}{1})$

Étape 9.2.3.45.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{417}{20} - 4 \cdot 3$

Étape 9.2.3.46

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{417}{20} - 12$

Étape 9.2.3.47

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$\frac{417}{20} - 12 \cdot \frac{20}{20}$

Étape 9.2.3.48

Associez $- 12$ et $\frac{20}{20}$ .

$\frac{417}{20} + \frac{- 12 \cdot 20}{20}$

Étape 9.2.3.49

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{417 - 12 \cdot 20}{20}$

Étape 9.2.3.50

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.50.1

Multipliez $- 12$ par $20$ .

$\frac{417 - 240}{20}$

Étape 9.2.3.50.2

Soustrayez $240$ de $417$ .

$\frac{177}{20}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{177}{20}$

Forme décimale :

$8.85$

Forme de nombre mixte :

$8 \frac{17}{20}$

Étape 11