Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = t^{- 5}$ ;, $(\frac{1}{2}, 32)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $t = \frac{1}{2}$ et $y = 32$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$- 5 t^{- 6}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{t^{6}}$

Étape 1.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{t^{6}}$ .

$\frac{- 5}{t^{6}}$

Étape 1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{t^{6}}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{{(\frac{1}{2})}^{6}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{\frac{1^{6}}{2^{6}}}$

Étape 1.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{5}{\frac{1}{2^{6}}}$

Étape 1.4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$- \frac{5}{\frac{1}{64}}$

Étape 1.4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (5 \cdot 64)$

Étape 1.4.3

Multipliez $- (5 \cdot 64)$ .

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $5$ par $64$ .

$- 1 \cdot 320$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $320$ .

$- 320$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 320$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{2}, 32)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = - 320 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 32 = 0 + 0 - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 32 = - 320 x - 320 (- \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 32 = - 320 x - 320 (\frac{- 1}{2})$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 320$ .

$y - 32 = - 320 x + 2 (- 160) \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 32 = - 320 x + 2 \cdot - 160 \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 32 = - 320 x - 160 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 160$ par $- 1$ .

$y - 32 = - 320 x + 160$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 320 x + 160 + 32$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $160$ et $32$ .

$y = - 320 x + 192$

Étape 3