Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Étape 3

Comme $2 k$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 k$ en dehors de l’intégrale.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $k$ et sur $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $k$ et sur $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.4

Additionnez $\frac{k^{2}}{2}$ et $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.5

Associez $2$ et $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.6

Associez $k$ et $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.7

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.10.2

Divisez $k^{3}$ par $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 8.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 8.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Étape 8.2.3.14

Additionnez $\frac{k^{3}}{3}$ et $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Étape 8.2.3.15

Pour écrire $k^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Étape 8.2.3.16

Associez $k^{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Étape 8.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Étape 8.2.3.18

Déplacez $3$ à gauche de $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Étape 8.2.3.19

Soustrayez $k^{3}$ de $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Étape 9

Associez $\frac{2}{3}$ et $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$