Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Étape 2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Étape 3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , donc $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Étape 4.3

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Étape 4.4

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Étape 4.5

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Étape 7

Évaluez $- {u_{2}}^{- 1}$ sur $\ln (t + 2)$ et sur $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Étape 8.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ approche de $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Étape 8.5

Évaluez la limite.

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Étape 8.5.1

Évaluez la limite de $\ln^{- 1} (4)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Étape 8.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.5.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Étape 8.5.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Étape 8.5.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{\ln (4)}$

Forme décimale :

$3.60673760 \dots$