Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Étape 2.3

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $0$ et sur $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 7.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 7.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Étape 7.2.9

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Étape 7.2.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Étape 7.2.11

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Étape 7.2.12

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.2.13

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Étape 7.2.14

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 7.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Étape 7.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 7.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 7.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$

Étape 9