Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Étape 1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 5.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $e^{u_{2}}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 11.4

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 11.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 11.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Étape 11.5

Déplacez $4$ à gauche de $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.15803013 \dots$

Étape 13