Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} + e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Étape 2.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 4.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 4.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{x} - e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$e^{x} = e^{- x}$

Étape 5.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = - x$

Étape 5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + x = 0$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x = 0$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$e^{0} + e^{- (0)}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + e^{- (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + e^{0}$

Étape 9.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 1 + e^{0}$

Étape 11.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Étape 11.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$(0, 2)$ est un minimum local

Étape 13