Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 4} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $27$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{3 {(- 4 + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $27$ de $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$ .

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Étape 1.3.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6.8

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.7

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.8

Simplifiez

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Étape 1.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.8.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.8.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.8.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.8.2.3

Additionnez $6 x + 6$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + 0}$

Étape 1.3.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1}$

Étape 1.4

Divisez $6 x + 6$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + 6$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + lim_{x \to - 4} 6$

Étape 2.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + 6$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$6 \cdot - 4 + 6$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$- 24 + 6$

Étape 4.2

Additionnez $- 24$ et $6$ .

$- 18$