Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2 y}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.4

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 2.5

Placez $y^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{3}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{3 y^{2}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Étape 3.5

Associez $\frac{6}{x}$ et $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$