Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}, x \neq 2 \\ 3, x = 2 \end{cases}$

Étape 1

Déterminez la limite de $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ lorsque $x$ approche de $2$ .

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Étape 1.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.2.5.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.6

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.1.3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + 0}$

Étape 1.1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1}$

Étape 1.1.4

Divisez $2 x - 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 1$

Étape 1.2

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 1$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$2 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Étape 1.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 1 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 - 1$

Étape 1.4.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$3$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$3$

Étape 3

Comme la limite de $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ lorsque $x$ approche de $2$ est égale à la valeur de la fonction sur $x = 2$ , la fonction est continue sur $x = 2$ .

Continu

Étape 4