Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x^{2} (2 x + 1) (x - 3) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (x^{2} (2 x + 1)) (x - 3) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x - 3$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int {(u_{1} + 3)}^{2} (2 (u_{1} + 3) + 1) u_{1} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = u_{1} + 3$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $u_{1} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 3]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 3$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Étape 3.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $3$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2} (2 u_{2} + 1) (u_{2} - 3) d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = u_{2} - 3$ . Puis $d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = u_{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $u_{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{2} - 3$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 3]$

Étape 4.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$2 \int {(u_{3} + 3)}^{2} (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez ${(u_{3} + 3)}^{2}$ comme $(u_{3} + 3) (u_{3} + 3)$ .

$2 \int (u_{3} + 3) (u_{3} + 3) (2 (u_{3} + 3) + 1) u_{3} d u_{3}$

Étape 5.2